题目内容

【题目】如图,O为△ABC的外接圆,DOCAB的交点,E为线段OC延长线上一点,且∠EAC=∠ABC

1)求证:直线AEO的切线.

2)若DAB的中点,CD6AB16

O的半径;

求△ABC的内心到点O的距离.

【答案】1)详见解析;(2②5

【解析】

(1)连接AO,并延长AOO于点F,连接CF,由圆周角定理可得∠ACF90°,可得∠F+FAC90°,由∠EAC=∠ABC,可得∠EAC+FAC90°,即可得结论;

(2)①由垂径定理可得ODABADBD8,由勾股定理可求O的半径;

作∠CAB的平分线交CD于点H,连接BH,过点HHMACHNBC,由角平分线的性质可得HMHNHD,由三角形的面积公式可求HD的值,即可求△ABC的内心到点O的距离.

解:(1)证明:连接AO,并延长AOO于点F,连接CF

AF是直径

∴∠ACF90°

∴∠F+FAC90°,

∵∠F=∠ABC,∠ABC=∠EAC

∴∠EAC=∠F

∴∠EAC+FAC90°

∴∠EAF90°,且AO是半径

∴直线AEO的切线.

(2)①如图,连接AO

DAB的中点,OD过圆心,

ODABADBDAB8

AO2AD2+DO2

AO282+AO62

AO

O的半径为

如图,作∠CAB的平分线交CD于点H,连接BH,过点HHMACHNBC

ODABADBD

ACBC,且ADBD

CD平分∠ACB,且AH平分∠CAB

∴点H是△ABC的内心,且HMACHNBCHDAB

MHNHDH

RtACD中,AC

SABCSACH+SABH+SBCH

×16×6×10×MH+×16×DH+×10×NH

DH

OHCOCHCO﹣(CDDH),

OH﹣(6)=5

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