Question

27、如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；
（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．

解答：解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）（4分）由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC²=CF²+AF²=8²+（9+6）²=289
∴AC=17
答：AC的长为17．

点评：（1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；
（2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．