题目内容
【题目】如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为y＝－x＋3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P(m，0)是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，交抛物线于E，EF∥x轴，交直线BC于F，DG∥x轴，FG∥y轴，DG与FG交于点G．设四边形DEFG的面积为S，当m为何值时S最大，最大值是多少？
(3)在坐标平面内是否存在点Q，将△OAC绕点Q逆时针旋转90°，使得旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝－x 2＋2x＋3 （2）当m＝
时，S有最大值
（3）存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（
， 
）或（
， 
）
【解析】试题分析：（1）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求得抛物线的解析式；
（2）由P坐标可表示D、E点坐标，进而表示出DE长，由二次函数的最值可求得当DE去最大值时m的值，由于四边形DEFG为正方形，所以面积为DE 2，即可求得S的最大值；
（3）分两种情况讨论：①当点A′、C′ 落在抛物线上时；②当点O′、C′ 落在抛物线上时，
即可求得点Q的坐标.
试题解析：（1）在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∵抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过B、C两点
∴
解得 
∴抛物线的函数表达式为y＝－x 2＋2x＋3；
（2）∵P（m，0），PD∥y轴交直线BC于D，交抛物线于E
∴D（m，－m＋3），E（m，－m 2＋2m＋3）
∴DE＝－m 2＋2m＋3－( －m＋3 )＝－m 2＋3m＝－( m－
)2＋ 
∴当m＝
时，DE有最大值 
，
由题意可知四边形DEFG为矩形
∵OB＝OC＝3，
∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°
∴DE＝EF∴四边形DEFG为正方形
∴S＝DE 2
∴当m＝
时，S有最大值 
；
（3）如图所示，有两种情况：
①当点A′、C′ 落在抛物线上时
由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3
设A′（a，－a 2＋2a＋3），则C′（a－3，－a 2＋2a＋4）
∴－a 2＋2a＋4＝－( a－3 )2＋2( a－3 )＋3
解得a＝
，∴A′（
， 
）
作QN⊥x轴于N，A′M⊥QN于M，连接QA、QA′
则∠AQA′＝90°，可证△QAN≌△A′QM
设Q（x，y），则QM＝AN＝x＋1
A′M＝QN＝y＝x＋1＋
＝ 
－x
解得x＝
，y＝ 
∴Q1（
， 
）
②当点O′、C′ 落在抛物线上时
则O′、C′ 两点关于抛物线的对称轴对称，易知抛物线的对称轴为直线x＝1，
由O′C′＝OC＝3，可知C′（－
， 
），
作QN⊥O′C′ 于N，CM⊥QN于M，连接QC、QC′
则∠CQC′＝90°，
可证△CQM≌△QC′N，
设Q（x，y），则QM＝C′N＝x＋
CM＝QN＝y－
＝x＝3－( x＋ 
)－ 
解得x＝
，y＝ 
∴Q2（
， 
）
综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（
， 
）或（
， 
）
【题目】某学校对学生的暑假参加志愿服务时间进行抽样调查，将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理，并绘制成如下的统计图表（图中信息不完整）．
请结合以上信息解答下列问题
（1）求a、m、n的值．
（2）补全“人数分组统计图①中C组的人数和图②A组和B组的比例值”．
（3）若全校学生人数为800人，请估计全校参加志愿服务时间在30≤x＜40的范围的学生人数．
分组统计表
组别 | 志愿服务时间 x（时） | 人数 |
A | 0≤x＜10 | a |
B | 10≤x＜20 | 40 |
C | 20≤x＜30 | m |
D | 30≤x＜40 | n |
E | x≥40 | 16 |
