Question

已知：关于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求证：无论m取何值方程必有实数根；
（2）设m＞0方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-3x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤m+2．

Answer 1

分析：（1）要证明无论m取何值方程必有实数根，分两种情况讨论：当m=0，原方程有解；当m≠0，只要证明△≥0即可，而△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，由（2m+3）²≥0，可得到△≥0；
（2）利用求根公式可得x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，因为m＞0，x₁＜x₂．所以x₂=

3m+3

m

，x₁=1，然后代入y=x₂-3x₁，即可得到函数的解析式即可；
（3）先求出y=

3

m

和y=m+2的交点坐标，再根据图象回答自变量m的取值范围．

解答：解：（1）当m=0，原方程变为：-3x+3=0，此方程有根为x=1；
当m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有两个实数根
所以无论m取何值方程必有实数根；

（2）∵x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=

3m+3

m

，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=

3m+3

m

-3=

3

m

（m＞0）；

（3）y=

3

m

（m＞0）和y=m+2的交点坐标为（1，3），
如图，当m≥1，y≤m+2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及用图象法解不等式的方法．