Question

【题目】已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当 时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①C（1，2），Q（2，0）

②由题意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0）．

分两种情况讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，

∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，

∴点P与点Q重合，OQ=OP，

即3﹣t=t，

∴t=1.5；

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，

∵OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴△ACQ也是等腰直角三角形．

∵CP⊥OA，

∴AQ=2CP，

即t=2（﹣t+3），

∴t=2．

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒

（2）

①由题意得：C（t，﹣ ），

∴以C为顶点的抛物线解析式是y= ，

由 ，

即（x﹣t）2+ （x﹣t）=0，

∴（x﹣t）（x﹣t+ ）=0，

解得 ．

过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，

∵DE∥OA，

∴∠EDC=∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，

∴ ，

∵AO=4，AB=5，DE= ，

∴CD= ，

②∵ ，CD边上的高= ，

∴ ，

∴S△COD为定值．

要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，

此时OC的长为 ，∠BCO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB，

∴ ，OP= ，

即t= ，

∴当t为 秒时，h的值最大．

【解析】（1）①由题意可得；②由题意得到关于t的坐标．按照两种情形解答，从而得到答案．（2）①以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB从而解得．②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为 时，h最大．