Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．其中正确的个数为（　　）

A.5个B.4个C.3个D.2个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据折叠的性质得到，于是得到，求得是直角三角形；设AB=x，则AD=2x，由相似三角形的性质可得CP=x，可求BP=PG=x=PN，可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得∠PMF=∠FPM，可证PF=FM；由，且∠G=∠D=90°，可证△PEG∽△CMD，则可求解．

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠DMC=∠EMC，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠AMP=∠EMP，

∵∠AMD=180°，

∴∠PME+∠CME=×180°=90°，

∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；

∵AD=2AB，

∴设AB=x，则AD=BC=2x，

∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

∴AM=DM=AD=x=BN=NC，

∴CMx，

∵∠PMC=90°=∠CNM，∠MCP=∠MCN，

∴△MCN∽△NCP，

∴CM2=CNCP，

∴3x2=x×CP，

∴CP=x，

∴

∴AB=BP，故②符合题意；

∵PN=CP﹣CN=x-x =x，

∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，

∴BP=PG=x，

∴PN=PG，故③符合题意；

∵AD∥BC，

∴∠AMP=∠MPC，

∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，

∴∠AMP=∠PMF，

∴∠PMF=∠FPM，

∴PF=FM，故④不符合题意，

如图，

∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，

∴AB=GE=x，BP=PG=x，∠B=∠G=90°

∴，

∵，

∴，且∠G=∠D=90°，

∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，

综上：①②③⑤符合题意，共4个，

故选：B．