题目内容
如图,半径为2
的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.
(1)求证:PA•PB=PC•PD;
(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD;
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.
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(1)求证:PA•PB=PC•PD;
(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD;
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.
(1)证明:∵∠A、∠C所对的圆弧相同,
∴∠A=∠C,
∴Rt△APD∽Rt△CPB,
∴
=
,
∴PA•PB=PC•PD;(3分)
(2)证明:∵F为BC的中点,△BPC为直角三角形,
∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,
∴∠A=∠DPE.
∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°,
∴EF⊥AD;(7分)
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,
∴OM2=(2
)2-42=4,ON2=(2
)2-32=11,
易证四边形MONP是矩形,
∴OP=
=
.(7分)
∴∠A=∠C,
∴Rt△APD∽Rt△CPB,
∴
AP |
CP |
PD |
PB |
∴PA•PB=PC•PD;(3分)
(2)证明:∵F为BC的中点,△BPC为直角三角形,
∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,
∴∠A=∠DPE.
∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°,
∴EF⊥AD;(7分)
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,
∴OM2=(2
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5 |
易证四边形MONP是矩形,
∴OP=
OM2+ON2 |
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