题目内容

如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90度.
(1)操作并观察,如图,将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果.
(2)探索:AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形?如果能,试加以证明.

【答案】分析:(1)在E点,F点的位置发生变化时,AE,EF,FB中最长线断始终是EF;
(2)如图,在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE,使CG=CA,连接EG、FG,构建全等三角形△ACE≌△GCE;然后利用该全等三角形的对应角相等证得∠1=∠A.同理:△CGF≌△CBF,∠2=∠B;最后根据直角三角形的性质和等量代换即可证得“AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形”.
解答:解:(1)观察结果是:当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时,AE、EF、FB中最长线段始终是EF.(3分)

(2)AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形.(4分)
证明如下:
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE,使CG=CA,连接EG、FG(5分)
又∵CE=CE
则△ACE≌△GCE(SAS),
∴∠1=∠A(8分)
同理:△CGF≌△CBF,∴∠2=∠B(9分)
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°(10分)
∴∠EGF=90°(11分)
∴AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形.(12分)
点评:此题是开放性试题,利用等腰直角三角形的性质来探究图形变换的规律,最后利用旋转法证明探究的规律.
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