Question

22、已知：关于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简x₁²+x₂²=136，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．

解答：解：（1）若方程有两个相等的实数根，
则有△=b²-4ac=（8-4m）²-16m²=64-64m=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x²+4x+4=0，
∴x₁=x₂=-2；
（2）不存在．
假设存在，则有x₁²+x₂²=136．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．
即（4m-8）²-2×4m²=136，
∴m²-8m-9=0，
（m-9）（m+1）=0，
∴m₁=9，m₂=-1．
∵△=（8-4m）²-16m²=64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=9，m₂=-1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．

点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x₁+x₂=$-frac{b}{a}$x₁x₂=$frac{c}{a}$．