Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在1所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在2的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：如图1，∵AB与x轴平行，

根据抛物线的对称性有AE=BE=1，

∵∠AOB=90°，

∴OE=AB=1，

∴A（﹣1，1）、B（1，1），

把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，

∴抛物线的解析式y=x2，

A、B两点的横坐标的乘积为xAxB=﹣1

（2）

xAxB=﹣1为常数，

如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，

∴∠MAO=∠BON，

∴△AMO∽△BON，

∴，

∴OMON=AMBN，

设A（xA，yA），B（xB，yB），

∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，

∴，yA=，yB=，

∴﹣xAxB=yAyB=，

∴xAxB=﹣1为常数；

（3）

设A（m，m2），B（n，n2），

如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．

∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，

∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．

设直线AB的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．

∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．

∴b=1．

∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．

易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．

∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．

设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．

在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，

即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，

解得a=0（舍去）或a=，

当a=时，﹣2a﹣2=，

∴P（，）．

【解析】（1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1得到抛物线的解析式y=x2 ， A、B两点的横坐标的乘积为xAxB=﹣1
（2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°，证出△AMO∽△BON，得到OMON=AMBN，设A（xA ， yA），B（xB yB），由于A（xA ， yA），B（xB ， yB）在y=x2图象上，得到yA=，yB=，即可得到结论；
（3）设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．