Question

如图，反比例函数y₁=

m

x

与一次函数y₂=kx+b的图象交于两点A（n，-1）、B（1，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，y₁≥y₂？
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（4）在反比例函数的图象上找点P，使△POB为等腰三角形，这样的P点有几个？并直接写出两个满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先把B（1，2）代入y₁=

m

x

求出m，则可确定反比例函数解析式；再把A（n，-1）代入反比例解析式求出n得到A点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）观察函数图象得到当0≤x＜1或x≥-2时，反比例函数图象都在一次函数图象上方；
（3）先确定C点坐标，然后利用△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积进行计算；
（4）由于点A（-2，-1）与B（1，2）关于直线y=-x对称，所以P点在A点时，△POB为等腰三角形；当P点与B点关于直线y=x对称时，△POB为等腰三角形，然后写出P点坐标．

解答：解：（1）把B（1，2）代入y₁=

m

x

得m=1×2=2，
所以反比例函数解析式为y₁=

2

x

；
把A（n，-1）代入y₁=

2

x

得-n=2，解得n=-2，则A点坐标为（-2，-1），
把A（-2，-1）、B（1，2）代入y₂=kx+b得

-2k+b=-1 k+b=2

，解得

k=1 b=1

，
所以一次函数解析式为y₂=x+1；
（2）当0≤x＜1或x≥-2时，y₁≥y₂；
（3）设AB与y轴交于C点，则C点坐标为（0，1），
所以△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积=

1

2

×1×2+

1

2

×1×1=

3

2

；
（4）点A（-2，-1）与B（1，2）关于直线y=-x对称，所以P点在A点时，△POB为等腰三角形；
当P点与B点关于直线y=x对称时，△POB为等腰三角形，此时P点坐标为（2，1），
所以满足条件的P点有2个，即（2，1），（-2，-1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．