Question

已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有两个不相等的实数根，
（1）试求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得此方程两根的平方和等于11？若存在，求出相应的k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；
（2）设两根为a、b，根据根与系数的关系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，则a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，由题意得2k²+4k+5=11，求解即可．

解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2k+1）²-4（k²-2）=4k+9＞0，
解得：k＞-

9

4

；

（2）存在．设两根为a、b，根据根与系数的关系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，
则a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，
由题意得2k²+4k+5=11，
解得k=-3或1，
∵k＞-

9

4

∴当k=1，此方程两根的平方和等于11．

点评：此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及根与系数的关系．