题目内容
已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是 |
| AB |
|
| BG |
| 1 |
| 3 |
|
| AB |
| 3 |
| 3 |
求：（1）∠C的度数；
（2）QH的长．
分析：（1）连接OP，易得∠BAG=30°，应利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一条线段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相应的度数，进而求解；
（2）易得PE=3
，那么利用特殊的三角函数值即可求得CP，OP，利用切割线定理可求得CA长．进而求得PQ，QB长．利用切割线定理可求得QH长．
（2）易得PE=3
| 3 |
解答：
解：（1）连接OP，则∠OPC=90°
∵
=
∴∠BAF=30°
设EF=x，则AE=
x
∵tan∠BFE=3
∴BE=3
x
∴cos∠POA=OE：OP=
∴∠POA=60°
∵CP是切线
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；
（2）∵PD⊥AB，PD=6
，
∴PE=3
，
∴CP=6
，OP=6，
那么AB=2OP=12，
∵PC2=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9
，
∴PQ=3
，
∵PQ2=QH×QB，
∴QH=3．
解：（1）连接OP，则∠OPC=90°∵
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| BG |
| 1 |
| 3 |
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| AB |
∴∠BAF=30°
设EF=x，则AE=
| 3 |
∵tan∠BFE=3
| 3 |
∴BE=3
| 3 |
∴cos∠POA=OE：OP=
| 1 |
| 2 |
∴∠POA=60°
∵CP是切线
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；
（2）∵PD⊥AB，PD=6
| 3 |
∴PE=3
| 3 |
∴CP=6
| 3 |
那么AB=2OP=12，
∵PC2=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9
| 3 |
∴PQ=3
| 3 |
∵PQ2=QH×QB，
∴QH=3．
点评：本题用到的知识点为：利用三角函数值来判断角的度数；垂直于弦的直径平分弦；切割线定理等．考查学生综合运用知识能力．
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