Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】 ﹣2≤BE＜3
【解析】解：如图，
由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的 上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴ = ，即 ，得MF= ，
∴AF= = ，
则BF=AB﹣AF= ，
∴BM= = ，
∴BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′= ﹣2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC=3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上， ﹣2≤BE＜3，
所以答案是： ﹣2≤BE＜3．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．