Question

已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x²﹣12x﹣7=0，
解得x₁=，x₂=。∴A（，0），B（，0）。
在中，令x=0，则y= 。∴C（0，）。
∵，∴顶点D（，﹣4）。
（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P。
设点P的坐标为（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，∴。∴y=OC=，此时点P（0，）。
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴，即。
解得y=，此时点P（0，）。
综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）。
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（，0）和点F（0，），
∴，解得，
∴直线l的解析式为。
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴线段BD的中点G的坐标为（，﹣2）。
当x=时，，∴点G在直线l上。
②在抛物线上存在符合条件的点M。

设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2。
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB。∴∠OFE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线。
∴点D关于直线l的对称点就是点B。
∴点M就是直线DE与抛物线的交点。
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得。
∴直线DE的解析式为。
联立，解得，。
∴符合条件的点M有两个，是（，﹣4）或（，）。

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标。
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解。
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可。
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点。再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M。