Question

【题目】在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）已知AE=2，DC=，求圆弧的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】试题分析：（1）根据切线的性质可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，则可得OD∥AC，根据平行线的性质可得∠ODA=∠CAD，根据圆的基本性质可得∠ODA=∠OAD，问题得证；

（2）过O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得结果.

（1）∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D

∴OD⊥BC

∴∠ODB=∠C=90°

∴OD∥AC

∴∠ODA=∠CAD

又∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD

∴∠CAD=∠OAD

∴AD平分∠BAC；

（2）过O作OH⊥AC于H

∴

∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，

∴OH=DC=

∴在Rt△ABC中，圆弧的半径OA=．