题目内容
【题目】如图,BE是圆O的直径,A在EB的延长线上,AP为圆O的切线,P为切点,弦PD垂直于BE于点C.
(1)求证:∠AOD=∠APC;
(2)若OC:CB=1:2,AB=6,求圆O的半径及tan∠APB.
【答案】解:(1)证明:连接OP.
∵OP=OD,∴∠OPD=∠D;
∵PD⊥BE,
∴∠OCD=90°;
在Rt△OCD中,∠D+∠AOD=90°,
又∵AP是⊙O的切线,
∴AP⊥OP,
则∠OPD+∠APC=90°,
∴∠AOD=∠APC;
(2)连接PE.
∴∠BPE=90°(直径所对的圆周角是直角);
∵AP是⊙O的切线,
∴∠APB=∠OPE=∠PEA;
∵OC:CB=1:2,
∴设OC=x,则BC=2x,OP=OB=3x;
在Rt△OPC中,OP=3x,OC=x,由勾股定理得:
PC2=OP2﹣OC2=8x2;
在Rt△OPC中,PC⊥OA,由射影定理得:
PC2=OCAC,即8x2=x(2x+6),6x2=6x,
解得x=0(舍去),x=1;
∴OP=OB=3,PC=2,CE=OC+OE=3+1=4,
∴tan∠APB=tan∠PEC==,
∴⊙O的半径为3,∠APB的正切值是.
【解析】(1)连接OP.可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明;
(2)根据OC、BC的比例关系,可用未知数表示出OC、BC的表达式,进而可得OP、OB的表达式;在Rt△AOP中,PC⊥OA,根据射影定理得:PC2=PCAC,PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得,由此求得未知数的知,从而确定PC、CE的长,也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点,需要掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.
【题目】请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y=|x|的图象和性质,并解决问题.
(1)完成下列步骤,画出函数y=|x|的图象;
①列表、填空;
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 3 | 1 | 1 | 2 | 3 | … |
②描点;
③连线.
(2)观察图象,当x 时,y随x的增大而增大;
(3)根据图象,不等式|x|<x+的解集为 .