Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣　　　（2）（，﹣4）．

【解析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；

（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．

解：（1）∵OB=4，OE=2，

∴BE=OB+OE=6．

∵CE⊥x轴，

∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，

∴CE=BEtan∠ABO=6×=3，

结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．

∵点C在反比例函数y=的图象上，

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=﹣．

（2）∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，

∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，

∴OA=OBtan∠ABO=4×=2．

∵S△BAF=AFOB=（OA+OF）OB=（2+）×4=4+．

∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，

∴S△DFO=×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO，

∴4+=4×3，

解得：n=，

经验证，n=是分式方程4+=4×3的解，

∴点D的坐标为（，﹣4）．