Question

如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；  
（2）求证：四边形OBEC是菱形．

Answer 1

分析：（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到△OAC三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与圆O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到BE∥OC，根据两直线平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED=90°，再求出∠DEC=60°，可得出∠B=∠DEC，根据同位角相等两直线平行，可得出EC∥OB平行，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可得出四边形OBEC为平行四边形，再由半径OC=OB，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．

解答：解：（1）∵OA=OC=

1

2

AB=3，AC=3，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都是

AC

，
∴∠AEC=

1

2

∠AOC=30°；

（2）∵直线l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，
∴四边形OBCE为平行四边形，
又∵OB=OC，
∴四边形OBCE为菱形．

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，平行四边形及菱形的判定，是一道综合性较强的试题，学生做题时应结合图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．熟练掌握性质及判定是解本题的关键．