题目内容
【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:BE与⊙O相切;
(2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC= ,求BF的长.
【答案】
(1)证明:连接OC,
∵OD⊥BC,
∴∠COE=∠BOE,
在△OCE和△OBE中,
∵ ,
∴△OCE≌△OBE,
∴∠OBE=∠OCE=90°,即OB⊥BE,
∵OB是⊙O半径,
∴BE与⊙O相切.
(2)解:过点D作DH⊥AB,连接AD并延长交BE于点F,
∵∠DOH=∠BOD,∠DHO=∠BDO=90°,
∴△ODH∽△OBD,
∴
又∵sin∠ABC= ,OB=9,
∴OD=6,
易得∠ABC=∠ODH,
∴sin∠ODH= ,即 = ,
∴OH=4,
∴DH= =2 ,
又∵△ADH∽△AFB,
∴ = , = ,
∴FB=
【解析】(1)连接OC,先证明△OCE≌△OBE,得出EB⊥OB,从而可证得结论.(2)过点D作DH⊥AB,根据sin∠ABC= ,可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后由△ADH∽△AFB,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方,以及对解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法).
【题目】某班开展安全知识竞赛活动,班长将所有同学的成绩(得分为整数,满分100分)分成四类,并制作了如下的统计图表:
类别 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
成绩 | 60≤m<70 | 70≤m<80 | 80≤m<90 | 90≤m<100 |
频数 | 5 | 10 | a | b |
根据图表信息,回答下列问题:
(1)该班共有学生 人,表中a= ,b= ;
(2)扇形图中,丁类所对应的圆心角是 度;
(3)已知A同学在丁类中,现从丁类同学中随机抽两名同学参加学校的决赛,请用列举的方法求A同学能够参加决赛的概率.