题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(4，4)；（2）(4，0)或(8，0) 或(
，0) 或(
，0) ；（3）存在，理由见解析，M（8，4）或（0，12）
【解析】
（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标；
（2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论；
（3）分两种情况讨论：当M在x轴下方时；当M在x轴上方时.把△MOC的面积是△AOC面积的2倍的数量关系转化为△MOA的面积与△AOC面积的数量关系即可求解.
解： (1)联立两直线解析式成方程组，得：
，
解得：
，
∴点C的坐标为(4，4)．
(2) 如图， 分三种情况讨论：
OC为腰，当OC=P1C时，
∵C（4，4），
∴P1（8，0）；
OC为腰，当OC=OP2= OP3时，
∵C（4，4），
∴OC=
，
，
；
当P4C=OP4时，设P（x，0），
则x= 
，
解得x=4，
∴P4（4，0）．
综上所述，P点坐标为P1（8，0），P2（，0），，P4（4，0）．
（3）当y=0时，有0=2x+12，
解得：x=6，
∴点A的坐标为(6，0)，
∴OA=6，
∴S△OAC=
× 6× 4=12．
设M（x，y），当M在x轴下方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积，
，
∴
，
∴y=4，
∴
，
∴x=8，
∴M（8，4）
当M在x轴上方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍，
∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，
∴
∴y=12时，
∴
，
∴x=0，
∴M（0，12）
综上所述，M（8，4）或（0，12）.
