题目内容
【题目】如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是
；图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图像．
(1)点P的运动速度是 cm/s；
(2)求a的值；
(3)如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G(即点M与点G重合)时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2:6:3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t(单位：s)．
①当t＝ s时，四边形PFMF'为正方形；
②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；（2）a=
；（3）①1.25；②存在，
【解析】
（1）根据图2得到点P从点B运动到点D的时间，根据速度的计算公式计算即可；
（2）结合图形，根据三角形的面积公式求出a；
（3）①根据题意求出点M的运动速度，根据翻转变换的性质，正方形的判定定理得到PF=FM时，四边形PFMF，为正方形，根据正方形的性质列出方程，解方程即可；
②分△PFM∽△MGN、△PFM∽△NGM两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
解：（1）由图2知，
点P从B运动到D
∵BD=
∴点P的运动速度为÷=1（cm/s）
故答案为1．
（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q
当点P在BD上时，a=
×BC×DQ
∵四边形ABCD是菱形，点P的运动速度为1
∴AD=BC=1×a=a
∴a=×a×DQ
解得DQ=2
在Rt△BDQ中，BQ=
=1
∴CQ=a-1
在Rt△CDQ中，CD2=CQ2+DQ2，即a2=(a-1)2+22
解得a=
（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2∶6
∴点M的运动速度3cm/s
由题意得EF=2a=5
∵FG-EF=1
∴FG=6
∴PF=5-t，FM=3t
由翻转变换的性质可知，PF=PF，，FM=FM，
当PF= FM时，PF==PF，= FM=FM，
∴四边形PFMF，为菱形
∵∠F=90°
∴四边形PFMF，为正方形
∴5-t=3t
即t=1.25时，四边形PFMF，为正方形
②存在
∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2∶6∶3
∴点M的运动速度为3cm/s，点N的运动速度为1.5cm/s
∴PF=5-t，FM=3t，GN=1.5t
∵点M的运动速度为3cn/s，FG=6
∴0≤t≤2
当△PFM∽△MGN时，
即
解得t=
当△PFM∽△NGM时，
即
解得
（舍去）
综上所述，当时，△PFM与△MGN相似．
故答案为（1）1；（2）a=；（3）①1.25；②存在，
【题目】苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．
时间(小时) | 频数(人数) | 频率 |
0≤t＜0.5 | 4 | 0.1 |
0.5≤t＜1 | a | 0.3 |
1≤t＜1.5 | 10 | 0.25 |
1.5≤t＜2 | 8 | b |
2≤t＜2.5 | 6 | 0.15 |
合计 | 1 |
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校1 500名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成家庭作业．
【题目】小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t） | 频数 | 百分比 |
2≤x＜3 | 2 | 4% |
3≤x＜4 | 12 | 24% |
4≤x＜5 |
|
|
5≤x＜6 | 10 | 20% |
6≤x＜7 |
| 12% |
7≤x＜8 | 3 | 6% |
8≤x＜9 | 2 | 4% |
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．
