Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= 

Answer 1

（1）（2）P（，）

解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。
将C（0，3）代入得c=3。
将A（－2，0）代入得，，解得b=。
∴抛物线的解析式为。
（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，

由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。
设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，
，解得，，∴直线AD解析式为y=x+1。
∵二次函数的对称轴为，
∴当x=时，y=×+1=。∴P（，）。
（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为，然后将A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式。
（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP＋DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。