题目内容
【题目】下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．
作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，
交OP于点A；
②以A为圆心，AO为半径作圆，
交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接OM，
由作图可知，A为OP中点，
∴OP为⊙A直径，
∴∠OMP＝ °，（ ）（填推理的依据）
即OM⊥PM．
又∵点M在⊙O上，
∴PM是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）按要求作图.
（2）根据圆直径的性质、切线的判定定理进行证明即可.
解：（1）补全图形，如图所示：
（2）证明：连接OM，
由作图可知，A为OP中点，
∴OP为⊙A直径，
∴∠OMP＝90°，（直径所对的圆周角是直角），
即OM⊥PM．
又∵点M在⊙O上，
∴PM是⊙O的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
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