题目内容
【题目】我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
（发现结论）
（1）如图，在□ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D，发现两个有趣的结论：①△EAC是等腰三角形 ②AC//B′D 请你选择其中一个结论加以证明
（结论运用）
（2）在□ABCD中，已知：BC=2，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D（如上图）．若四边形ACDB′是矩形，求AC的长．
（方法拓展）
（3）若 
=k，且以A、C、D、B′为顶点的四边形为正方形，则k的值为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）k的值为1或
.
【解析】
（1）①由平行四边形的性质得出∠EAC＝∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB＝∠ACB′，证出∠EAC＝∠ACB′，得出AE＝CE即可；②同①证明AE＝CE，然后求出DE＝B′E，证出∠CB′D＝∠B′DA，由∠AEC＝∠B′ED，得出∠ACB′＝∠CB′D，即可得出AC//B′D；
（2）由矩形的性质可得∠BAC＝90°，然后利用含30°直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）分两种情况讨论，分别作出图形，根据等腰直角三角形的性质求解即可.
解：（1）选结论①，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折的性质得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，
∴∠EAC＝∠ACB′，
∴AE＝CE，即△ACE是等腰三角形；
选结论②，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折的性质得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，
∴∠EAC＝∠ACB′，
∴AE＝CE，
∴DE＝B′E，
∴∠CB′D＝∠B′DA，
∵∠AEC＝∠B′ED，
∴∠ACB′＝∠CB′D，
∴AC//B′D；
（2）如图1所示：
∵四边形ACDB′是矩形，
∴∠CAB′＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝60°，BC=2，
∴AB＝1，
∴
；
（3）分两种情况：
①如图2所示，
∵四边形ACDB′是正方形，
∴AB′＝AC，
∵AB′＝AB，
∴AB＝AC，即
；
②如图3所示，
∵四边形ACB′D是正方形，
∴∠AB′B＝45°，∠ACB′＝90°，
∵AB′＝AB，
∴∠B＝45°，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴
，
综上所述，k的值为1或.
