Question

【题目】如图，平行四边形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）当，时，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

（3）当四边形是正方形时，请判断的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形ABDF是矩形，见解理由析；（3）△FBC为等腰直角三角形，证明见解析

【解析】

（1）利用平行四边形的性质，证明AB＝CD，然后通过证明△AGB≌△DGF 得出AB=DF即可解决问题；
（2）结论：四边形ABDF是矩形．先证明四边形ABDF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

（3）结论：△FBC为等腰直角三角形．由正方形的性质得出∠BFD=45°,∠FGD=90°，根据平行四边形的性质推出BF=BC即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠FDG=∠BAG，

∵点G 是AD的中点，

∴AG=DG，

又∵∠FGD=∠BGA，

∴△AGB≌△DGF（ASA），

∴AB=DF，

∴DF=DC．

（2）结论：四边形ABDF是矩形，

理由：∵△AGB≌△DGF，

∴GF=GB，

又∵DG=AG，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵DG=DC，DC=DF，

∴DF=DG，

在平行四边形ABCD中，

∵∠ABC=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠FDG=60°，

∴△FDG为等边三角形，

∴FG=DG，

∴AD=BF，

∴四边形ABDF是矩形．

（3）当四边形ABDF是正方形时，△FBC为等腰直角三角形．

证明：∵四边形ABDF是正方形，

∴∠BFD=45°,∠FGD=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FBC =∠FGD = 90°，

∴∠FCB = 45°=∠BFD，

∴BF=BC，

∴△FBC为等腰直角三角形．