Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E，
F在DA的延长线上，且AF＝AE．

（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2）若BF＝5，，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）BF与⊙O相切  （2）⊙O的直径是

试题分析：解：（1）BF与⊙O相切
∵ BD是直径     
∴∠DAB=90°
∵AE=AF，∠BAD=∠BAF，BA=BA                 
∴△BAE≌△BAF
∴∠CBA=∠FBA
∵AB=AC
∴∠C=∠CBA
又∵∠D=∠C
∴∠D=∠CBA
∴∠D=∠FBA
∵∠FBA+∠F=180°－∠BAF=90°
∴∠D+∠F=90°
∴∠DBF=180°－(∠D+∠F)=90°
∴OB⊥BF
∴BF与⊙O相切
（2）∵∠D =∠C
∴c o s∠D =" c" o s∠C =
在R t△BDF中，c o s∠D=
设BD =4x， DF =5x，则BF =3x
∵BF =5， ∴3x=5， ∴x= 
∴BD ="4x" =
∴⊙O的直径是
点评：该题考查学生对圆相关知识点的掌握程度，线与圆的关系、同弦所对的圆心角与圆周角的关系都是常考的知识点。