Question

【题目】如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC

（1）∠ABC的度数为
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）
（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）

解：如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为：x=，

设点P坐标为：（，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，

即AE2+PE2=CD2+PD2，

∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，

解得：n=，

∴P点的坐标为：（，）

（3）

解：存在点Q满足题意，

∵P点的坐标为：（，），

∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，

=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2

=1+m2，

∵AC2=1+m2，

∴PA2+PC2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形，

∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），

①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，

若PQ与x轴垂直，则=﹣m，

解得：m=，PQ=，

若PQ与x轴不垂直，

则PQ2=PE2+EQ2

=（）2+（+m）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+

∵0＜m＜1，

∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，

②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，

若PQ与y轴垂直，则=m，

解得：m=，PQ=，

若PQ与y轴不垂直，

则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+，

∵0＜m＜1，

∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，

综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．

【解析】（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），
令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，
解得：x1=﹣1，x2=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
所以答案是：45°