题目内容
【题目】如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝
CD，下列结论中正确的个数为( )
①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论．
∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=
CD，设CF=x，则CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，
∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正确．
故选B．
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