题目内容
【题目】已知实数 a、b、c满足 a+b2＝1，a+1＝c2﹣2c，若 m＝2a2+5b2，实数 m的取值范围是______
【答案】2≤m≤23
【解析】
根据a+b2＝1，a+1＝c2﹣2c，可以求得a的取值范围，再根据m＝2a2+5b2和二次函数的性质即可求得m的取值范围．
∵a+b2＝1，a+1＝c2﹣2c，∴b2＝1﹣a，a+2＝（c﹣1）2，∴
，得：﹣2≤a≤1．
∵b2＝1﹣a，∴m＝2a2+5b2＝2a2+5（1﹣a）＝2a2﹣5a+5．
∵m＝2a2﹣5a+5的对称轴是直线a
，a＞0，∴当a
时，m随a的增大而减小．
∵﹣2≤a≤1，∴当a＝﹣2时，m取得最大值，此时m＝23，当a＝1时，m取得最小值，此时m＝2，∴m的取值范围是2≤m≤23．
故答案为：2≤m≤23．
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