题目内容
【题目】如图，二次函数 
的图像交 
轴于 
，交 
轴于点 
，连接直线 
.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点 
在二次函数的图像上，圆 与直线 相切，切点为 
.
①若 在 轴的左侧，且△ 
∽△ 
，求点 的坐标；
②若圆 的半径为4，求点 的坐标.
【答案】
（1）解：∵将x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax2+bx-2得 
，解得： 
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2
（2）解：解①∵圆P与直线AC相切，∴PH⊥AC．
（i）如图1，当H在点C下方时，
①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO．
∴CP∥x轴．
∴yP=-2．
∴x2+x-2=-2．解得x1=0（舍去），x2=-1，
∴P（-1，-2）．
（ii）如图1，当H′在点C上方时．
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=（m+1）2，
解得，m= 
，即OQ= ；
设直线C P′的解析式为y=kx-2，把Q（- ，0）的坐标代入，得 k-2=0，解得k=- 
，
∴y=- x-2，由- x-2=x2+x-2，解得x1=0（舍去），x2= 
，此时y=- ×（- ）-2= 
，
∴P′（- ， ）．
∴点P的坐标为（-1，-2）或（- ， ）②在x轴上取一点D，
如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．
在Rt△AOC中，AC= 
，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC．
∴ 
，即 
，解得AD=2 
，
∴D（1-2 ，0）或D（1+2 ，0）．过点D作DP∥AC，交抛物线于P，设直线AC的解析式为y=kx+b．将点A、C的坐标代入抛物线的解析式得到： 
解得： 
∴直线AC的解析式为y=2x-2．
∴直线PD的解析式为y=2x+4 -2或y=2x-4 -2，当2x+4 -2=x2+x-2时，即x2-x-4 =0，解得x1= 
，x2= 
；
当2x-4 -2=x2+x-2时，即x2-x+4 =0，方程无实数根．
∴点P的坐标为（ ， 
）或（ ，- ）．
【解析】（1）把A、B坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式；（2）由圆P与直线AC相切，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC，得到CP∥x轴，求出点P的坐标；当H′在点C上方时，根据勾股定理求出OQ的值，得到点P的坐标；由已知得到△AED∽△AOC，得到比例，求出AD的值，根据勾股定理求出AC的值，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，得到直线AC的解析式和直线PD的解析式，求出点P的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.
