题目内容
【题目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点P在是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，连接AD，BP．
（1）观察猜想
当点P在直线AC上时，如图1，线段BP与AD的数量关系是 ，直线BP与直线AD的位置关系是 ；
（2）拓展探究
当点P不在直线AC上时，（1）中的数量关系和位置关系还成立吗？并就图2的情形说明理由；
（3）解决问题
若点M，N分别是AB和AC的中点，点P在直线MN上，请直接写出点A，P，D在同一条直线上时
的值．
【答案】（1）BP＝AD，BP⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）
或 
【解析】
（1）观察猜想,如图1，延长BP交AD于H，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由余角的性质可证BP⊥AD；
（2）拓展探究,如图2，延长BP交AD于H，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由三角形内角和定理可证BP⊥AD；
（3）解决问题,分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，由线段垂直平分线的性质可得AP=PC，即可求解．
解：（1）观察猜想
如图1，延长BP交AD于H，
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，
∴PC＝CD，∠PCD＝90°，
∴∠ACB＝∠PCD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，
∵∠CAD+∠D＝90°，
∴∠CBP+∠D＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∴BP⊥AD，
故答案为：BP＝AD，BP⊥AD；
（2）拓展探究
仍然成立，
理由如下：如图2，延长BP交AD于H，
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，
∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，
∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，
∵∠CBP+∠ABP+∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠ABP+∠BAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴BP⊥AD；
（3）解决问题
当点A在线段PD上时，如图3，连接BP，
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，
∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，
∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴PB＝AD，
∵点M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，
∴PN是AC的中垂线，
∴AP＝PC，
∵PC＝CD，∠PCD＝90°
∴PD＝
PC，
∴AD＝PD﹣AP＝PC﹣PC＝BP，
∴
；
当点P在线段AD上时，如图4，连接BP，
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，
∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，
∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴PB＝AD，
∵点M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，
∴PN是AC的中垂线，
∴AP＝PC，
∵PC＝CD，∠PCD＝90°
∴PD＝PC，
∴AD＝PD+AP＝
PC+PC＝BP，
∴
．
