Question

【题目】△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上（端点B除外），

∠EDB=∠C，BE⊥DE于点E，DE与AB相交于点F，过F作FM∥AC交BD于M．
（1）当AB=AC时（如图1），求证：①FM=MD；②FD=2BE；
（2）当AB=kAC时（k＞0，如图2），用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明证明见解析（2）=

【解析】试题分析：（1）①利用等腰直角三角形得出结合平行线的性质得出∠DMF=∠MFD，进而得出答案；②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系；

（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．

试题解析：（1）①∵AB=AC，∠A=90°

∴∠ABC=∠C=45°

∵∠EDB=∠C

∴∠EDB=22.5°

∵FM∥AC，

∴∠FMB=45°，

∴∠MFD=22.5°，

∴∠DMF=∠MFD，∴MF=MD；

②在△BEF和△DEB中∵∠E=∠E=90°∠EBF=∠EDB=22.5°

∴△BEF∽△DEB

如图1：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形

设EF=x，BE=y，

则：BG=GD=y，FD=y+y-x

∵△BEF∽△DEB

∴=，得：x=（-1）y

∴FD=2BE；

（2）如图2，过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，

∵DG∥AC，

∴∠GDB=∠C，

∵∠EDB=∠C，

∴∠EDB=∠GDE，

∵BE⊥DE，

∴∠BED=∠DEG，

∴△DEG≌△DEB（ASA），

∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，

∴△GBN∽△FDN，

∴=即=

又∵DG∥AC，

∴△BND∽△BAC，

∴=即==k

∴=