题目内容
如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D是AB上一动点,DE∥BC,交AC于E,将四边形BDEC沿DE向上翻折,得四边形B′DEC′,B′C′与AB、AC分别交于点M、N.
(1)证明:△ADE∽△ABC;
(2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值?
(1)证明:△ADE∽△ABC;
(2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值?
(1)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.(2分)
(2)∵S△ABC=24,△ADE∽△ABC,相似比为
,
∴
=(
)2,所以S△ADE=
x2. (4分)
∵∠1=∠2,∠1=∠B'MD,∠2=∠B',
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD.
又B'D=BD,∴MD=BD.
∴AM=AB-MB=6-2(6-x)=2x-6.(6分)
同理,△AMN∽△ABC,S△AMN=
(x-3)2
∴y=S△ADE-S△AMN=
x2-
(x-3)2=-2x2+16x-24. (8分)
配方得y=-2(x-4)2+8
∴当x=4时,y有最大值. (10分)
∴△ADE∽△ABC.(2分)
(2)∵S△ABC=24,△ADE∽△ABC,相似比为
x |
6 |
∴
S△ADE |
S△ABC |
x |
6 |
2 |
3 |
∵∠1=∠2,∠1=∠B'MD,∠2=∠B',
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD.
又B'D=BD,∴MD=BD.
∴AM=AB-MB=6-2(6-x)=2x-6.(6分)
同理,△AMN∽△ABC,S△AMN=
8 |
3 |
∴y=S△ADE-S△AMN=
2 |
3 |
8 |
3 |
配方得y=-2(x-4)2+8
∴当x=4时,y有最大值. (10分)
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