题目内容

【题目】(11分)已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.

(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;

(2)如图2,当△ABC中只有∠ACB=60°时,请你证明SABCSABD的和等于SBCESACF的和.

【答案】(1)答案不唯一,如:DE=EF,DF=EF,∠D=∠E=∠F,A、B、C分别为DF、DE、EF的中点;(2)见解析

【解析】试题分析:(1)由等边三角形的性质可写出结论.

(2)要证明以上结论,需创造一些条件,首先可从ABC中分出一部分使得与ACF的面积相等,则过AAMFCBCM,连接DM、EM,就可创造出这样的条件,然后再证其它的面积也相等即可.

试题解析:(1)DE=EF,DF=EF,D=E=F,A、B、C分别为DF、DE、EF的中点;

(2)AAMFCBCM,连接DM、EM,

∵∠ACB=60°,CAF=60°,

∴∠ACB=CAF,

AFMC,

∴四边形AMCF是平行四边形,

又∵FA=FC,

∴四边形AMCF是菱形,

AC=CM=AM,且∠MAC=60

∵在BACEMC中,

CA=CM,ACB=MCE,CB=CE,

∴△BACEMC,

∵∠DAM=DAB+BAM=60°+BAM,

BAC=MAC+BAM=60°+BAM,

∴∠BAC=DAM

ABCADM

AB=AD,BAC=DAM,AC=AM,

∴△ABCADM(SAS)

ABCMECADM,

CB上截取CM,使CM=CA,

再连接AM、DM、EM

易证AMC为等边三角形,

ABCMEC中,

CA=CM,ACB=MCE,CB=CE,

∴△ABCMEC(SAS),

AB=ME,ABC=MEC,

又∵DB=AB,

DB=ME,

∵∠DBC=DBA+ABC=60°+ABC,

BME=BCE+MEC=60°+MEC,

∴∠DBC=BME,

DBME,

DBME平行且相等,故四边形DBEM是平行四边形,

∴四边形DBEM是平行四边形,

SBDM+SDAM+SMAC=SBEM+SEMC+SACF

SABC+SABD=SBCE+SACF.

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