题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.
∴根据勾股定理,得 =5cm.
以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①当△AMP∽△ABC时, ,即 = ,
解得t= ;
②当△APM∽△ABC时, ,即 = ,
解得t=0(不合题意,舍去);
综上所述,当t= 时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似
(2)
解:存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:
假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.
如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC,
∴ ,即 = ,
∴PH= t,
∴S=S△ABC﹣S△BPN,
= ×3×4﹣ ×(3﹣t) t,
= (t﹣ )2+ (0<t<2.5).
∵ >0,
∴S有最小值.
当t= 时,S最小值= .
答:当t= 时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是 .
【解析】根据勾股定理求得AB=5cm.(1)分类讨论:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;(2)如图,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= (t﹣ )2+ (0<t<2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.