题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).

(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.

∴根据勾股定理,得 =5cm.

以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:

①当△AMP∽△ABC时, ,即 =

解得t=

②当△APM∽△ABC时, ,即 =

解得t=0(不合题意,舍去);

综上所述,当t= 时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似


(2)

解:存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:

假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.

如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC,

,即 =

∴PH= t,

∴S=SABC﹣SBPN

= ×3×4﹣ ×(3﹣t) t,

= (t﹣ 2+ (0<t<2.5).

>0,

∴S有最小值.

当t= 时,S最小值=

答:当t= 时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是


【解析】根据勾股定理求得AB=5cm.(1)分类讨论:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况.利用相似三角形的对应边成比例来求t的值;(2)如图,过点P作PH⊥BC于点H,构造平行线PH∥AC,由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值;然后根据“S=SABC﹣SBPH”列出S与t的关系式S= (t﹣ 2+ (0<t<2.5),则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网