Question

如图，将边长为3cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD的中点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

(1) △AEM的周长=_____cm；（2）求证：EP=AE+DP；

Answer 1

(1) （2）见解析

（1）设AE=xcm，则EB=ME=（3-x）cm．
又因为E为DC的中点，
所以AM=1.5cm，
在Rt△DME中，AE²+AM²=ME²，
即x²+1.5²=（3-x）²，
解得x=．
所以线段DM的长为cm
△AEM的周长=+1.5+=   
（2）证明：
分别延长EM和PD交于点H.
∵正方形ABCD ∴AB∥CD,∴∠AEM=∠H
又∵∠AME=∠DMH，AM="DM" ∴△AME≌△DMH
∴EM=HM，AE="DH." ……………………………… 5分
在△EHP中，由折叠过程知，∠EMP=∠B=90°，∴MP⊥EH
∴PH="EP" 又∵EM=HM，∴PE="PH" …………………………… 7分
∵PH=DP+DH,  AE=DH. ∴PH="AE+DP"
∴EP=AE+DP.       ……………………………………8分
（其他解法参照给分）
（1）设AE=xcm,根据勾股定理求得x，即可求出△AEM的周长
（2）通过△AME≌△DMH，求得EM=HM，AE=DH，由折叠过程，求得PE=PH，从而求得结论