题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值；
（3）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣
x+
；（2）D（
，﹣
）；|FE﹣DE|的最大值为
；（3）点Q的坐标为Q1（
，
），Q2（
，
），Q3（
﹣
，
），Q4（+，﹣）．
【解析】
（1）令抛物线y＝0，求出点C的坐标，再令x＝1，求出点B坐标，待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）三角形面积最值转换成求DH的最大值，然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标，|FEDE|的最大值，可将点D和点F转换到x轴的同一侧，再利用共线时差值最大求出线段长度即可．
（3）找等腰三角形问题，要分类讨论，以OC为腰，或以OC为底都可以，利用∠OCN的正切值求出边之间的比例关系，求出点Q的坐标．
（1）令y＝0，解得x1＝
，x2＝，
∴A（，0），B（，0）
当x＝1时，y＝2
∴B（1，2）
设直线BC的解析式为y＝kxb代入点B和C
，
解得
∴直线BC的解析式为y＝
;
（2）设点D（m，
）
过点D作x轴的平行线，交BC于点H，
则点H（m，﹣m+）
HD＝﹣m+﹣（）＝﹣
（m﹣）2+
∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值．
D（，
）
作D关于x轴的对称点D′
则D′（，）
连接D′H交x轴于一点E，此时D′E﹣FE最大，即为D′F的长度
∵F为OB的中点
∴F（
，）
∴D′F＝
∴|FE﹣DE|的最大值为．
（3）由题意可知M（0，2）
∵∠NFO＝3∠BNF
∴∠FBN＝2∠BNF
作∠FBN的角平分线交x轴于点E
则∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF
过点B作x轴的垂线，垂足为点J
则J（1，0）
∵OB＝
＝3
∴OE＝3
∴EJ＝2
∵BJ＝2
∴tan∠BEJ＝，
∴tan∠BNF＝，
过点F作MN的垂线，垂足为D
则FD＝，
∴ND＝1
∴N（，2）
连接NC
∵tan∠NCO＝
①当OQ1等于CQ1时，过点Q1作OC的垂线，垂足为I
∵OC＝
∴CI＝
∴Q1I＝
∴Q1（，）
②当OC＝CQ3时，过点Q3作OC的垂线，垂足为K
∵OC＝，∴CQ3＝，
CK＝，Q3K＝
∴Q3（
，）
③当OQ2＝OC时，过点Q2作OC的垂线，垂足为P
∵OC＝3，∴OQ2＝3
设PC＝a，则Q2P＝a，OP＝﹣a
根据勾股定理解得a＝
∴Q2（，）
④当Q4在NC的延长线上时，CQ4＝OC
同理可得，Q4（
，
）
综上所述：点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，，）．
