题目内容
【题目】勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在
多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以
的三边为边长，向外作正方形
、
、
.
（1）连接
、
，求证：
（2）过点
作
的垂线，交于点
，交
于点
.
①试说明四边形
与正方形的面积相等；
②请直接写出图中与正方形的面积相等的四边形.
（3）由第（2）题可得：正方形的面积
正方形的面积
_______________的面积，即在中，
__________________.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②四边形
与正方形
的面积相等；（3）正方形
，
.
【解析】
（1）根据正方形的性质和三角形全等的判定定理，即可得到结论；
（2）①由
得四边形
的面积为
的面积的
倍，同理正方形
的面积为
的面积的倍，结合
，即可得到结论；
②连接AF，BH，先证ACFHCB（SAS），再类似①题的方法，即可得到结论；
（3）由四边形与正方形的面积相等，四边形与正方形的面积相等，即可得到答案．
（1）∵四边形、四边形是正方形，
∴∠BAE=∠CAI=90°，AE=AB，AC=AI，
∴∠EAC=∠BAI，
在和中，
∵
，
∴（SAS）；
（2）①∵BM⊥AC，
∴，
∴四边形的面积=的面积的倍，
同理：正方形的面积=的面积的倍，
又
，
四边形与正方形的面积相等；
②四边形与正方形的面积相等，理由如下：
连接AF，BH，
∵四边形、四边形是正方形，
∴AC=HC，BC=FC,∠ACB=∠BCF，即：∠ACF=∠HCB，
∴ACFHCB（SAS），
∵BN
HC，
∴四边形的面积是HCB面积的2倍，
同理：正方形的面积是ACF面积的2倍，
∴四边形与正方形的面积相等；
（3）由（2）可知：四边形与正方形的面积相等，四边形与正方形的面积相等，
∴正方形的面积
正方形的面积
正方形的面积，
即：
．
故答案是：正方形，．
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