Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。

（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；
（3）BD²=AD·DF成立吗？若成立，请说明理由。

Answer 1

（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再结合BD=CE即可证得结论；（2）相似；（3）成立

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再结合BD=CE即可证得结论；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可得∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，即可证得结论；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，即可证得△BDF∽△ADB，再根据相似三角形的性质求解即可.
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△ABE相似．
由（1）得：∠BAD=∠CBE，
又∵∠ABC=∠BAC，
∴∠ABE=∠EAF，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（3）成立
由（1）得：∠BAD=∠FBD，
又∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，即BD²=AD•DF．
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.