题目内容
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．
（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．
（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．
（1）OE与OF的数量关系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）
（2）
=
．（2分）
如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴
=
．
∴
=
．
∴MO=
．（4分）
同理可得ON=
．（5分）
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴
=
．（7分）
∴
=
．
（3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）
（2）
| OE |
| OF |
| 15-3m |
| 4m |
如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴
| OM |
| BC |
| AO |
| AC |
∴
| OM |
| 4 |
| m |
| 5 |
∴MO=
| 4m |
| 5 |
同理可得ON=
| 15-3m |
| 5 |
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴
| OE |
| OF |
| ON |
| OM |
∴
| OE |
| OF |
| 15-3m |
| 4m |
（3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）
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