Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣3）三点．

（1）直接写出抛物线的解析式 ；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD，试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′，在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒（0≤t≤3），试求S与t之间的函数关系式？

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣2x﹣3;(2)、P（﹣，﹣）；(3)、S=．

【解析】

试题分析：(1)、根据题意设抛物线交点式，待定系数法求解可得；(2)、求出点D坐标可得CD∥x轴，由B、C坐标可得∠OCB=∠CBO=∠DCB=45°，继而证△CDB≌△CQB可得CQ=CD=2，即点Q的坐标，从而求得直线BP的解析式，设抛物线上的点P（n，n2﹣2n﹣3），代入直线BP解析式可求得n的值，可得答案；

(3)、①点C′在CD上运动时，即0≤t≤2时，根据：S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF，求解即可；②点C′在CD延长线上运动时，即2＜t≤3时，根据：S=S△GEB，求解可得．

试题解析：(1)、根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a=﹣3，

解得：a=1， ∴y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

(2)、存在， 将点D（2，m）代入抛物线解析式得：m=﹣3， ∴D（2，﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3） ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠CBO=45°， 如图1，设BP交y轴于点Q，

∵CD∥x轴， ∴∠DCB=∠BCQ=45° ∴△CDB≌△CQB（ASA） ∴CQ=CD=2，

∴点Q（0，﹣1）， 设直线BP：y=kx﹣1，

点B（3，0）代入得：3k﹣1=0， ∴k=， ∴直线BP：y=x﹣1，

设P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）， 代入y=x﹣1，得：n2﹣2n﹣3=n﹣1

解得：n=﹣或n=3（舍去） 当n=﹣时，n2﹣2n﹣3=﹣ ∴P（﹣，﹣）．

(3)、∵B（3，0），C（0，﹣3），D（2，﹣3）， ∴求得直线BC：y=x﹣3，直线BD：y=3x﹣9，

①当0≤t≤2时，如图2：

∵由已知设C′（t，﹣3），B′（3+t，0） ∴求得直线C′B′：y=（x﹣t）﹣3，再联立直线BD：y=3x﹣9，求得F（，﹣t）， ∵∠DCB=45° ∴C′E=t

∴S=S△BCD﹣S△CC″E﹣S△C″DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣t），

整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）

②当2＜t≤3时，如图3：

∵由已知设G（t，3t﹣9），E（t，t﹣3） ∴S=S△GEB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）

整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）， 综上所述：S=．