题目内容
【题目】一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：AD＝DE
（1）理清思路，完成解答
本题证明思路可以用下列框图表：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
（2）特殊位置，计算求解
当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；
（3）知识迁移，探索新知
当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）
【答案】（1）见解析；（2）3
；（3）3．
【解析】
（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）解直角三角形求出AD即可解决问题．
（3）只要证明∠BAD＝90°，利用勾股定理求出AD，再证明△ADE是等边三角形即可解决问题．
（1）证明：如图①中，过点D作DF∥AC，交AB于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BFD＝60°，
∴△BDF是等边三角形，BF＝BD，∠BFD＝60°，
∴AF＝CD，∠AFD＝120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE＝120°＝∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠FAD＝60°+∠FAD，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC，
∴∠FAD＝∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD＝DE．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵BD＝DC＝3，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝
＝3，
由（1）可知：DE＝AD＝3．
（3）如图3中，
∵CA＝CD＝CB＝2，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝
＝2，
∵∠ADE＝60°，∠ADB＝30°，
∴∠BAD＝∠EDC＝90°，
∵ECD＝60°，
∴DE＝CDtan60°＝2，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴S△ADE＝
×（2）2＝3．
