Question

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；
（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求的值．

图1                            图2

Answer 1

（1）证明见解析；
（2）BC=4；
（3）．

试题分析：（1）连接BD、DO，OE，只要证明∠ODE=90°，OD是半径，就可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据△ADB∽△BDC，从而根据相似比不难求得BD的长；
（3）根据平行线分线段成比例进行分析．
试题解析：（1）如图1，连接BD，OD，OE.

∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵E是BC中点，
∴DE=EC=EB，
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD.
∴△ODB是等边三角形.
∴∠DOB=60°.
∴∠A=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°.
∴∠CBD=30°.
∴，，
设，，
∵AD=6，
∴.
∴.
∴BC=4；
（3）如图2，连接BD，OE.

∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴=2.
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴=2，
设，，，
∴AC=.
∵O是AB中点，E是BC中点，
∴，
∴，
∴．