Question

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．

Answer 1

（1）证明见解析
（2）

试题分析：(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则有∠B+∠BAD=90°，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，则可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，则CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE的长，从而可得AE的长
试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，
∴OC==3，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴=，即=，
∴CE=．
∴AE=AC-CE=