题目内容
【题目】如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EFBF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AFEC＝EFEB．其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
根据等边对等角的性质得到∠DCF=∠DFC，继而得到DF=DB，从而得∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，继而得到△BCF和△CEF相似，根据相似三角形的对应边成比例，即可判断①；根据互余关系可得∠G=∠ACG，再根据等角对等边得到AG=AC，然后求出AG=BC，利用“AAS”证明△BCE和△AGF全等，根据全等三角形的性质得到AG=BC，即可判断②；根据角的互余关系求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，继而得到∠EAF≠∠EFA，从而得AE≠EF，即可判断③；证明△CEF和△BCE相似，从而得EC2=EFEB，再根据全等三角形的对应边相等得到AF=CE，即可判断④，由此即可得到答案.
∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，点D是BC的中点，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC=
×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴
，
∴CF2=EFBF，故①正确；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
，
∴△BCE≌△AGF（AAS），
∴AG=BC，
∵点D是BC的中点，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正确；
根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③错误；
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴
，
∴EC2=EFEB，
∵△BCE≌△AGF（已证），
∴AF=EC，
∴AFEC=EFEB，故④正确；
所以，正确的结论有①②④，
故选B.
