题目内容
【题目】一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以AB为边在第一象限内做等边△ABC
(1)求△ABC的面积和点C的坐标;
(2)如果在第二象限内有一点P(a, ),试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积.
(3)在x轴上是否存在点M,使△MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:y=﹣ x+1与x轴、y轴交于A、B两点,
∴A( ,0),B(0,1).
∵△AOB为直角三角形,
∴AB=2.
∴S△ABC= ×2×sin60°= .
∵A( ,0),B(0,1).
∴OA= ,OB=1,
∴tan∠OAB= = ,
∴∠OAB=30°,
∵∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°,
∴C(1,2)
(2)
解:如图1,
S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + a.
∵P在第二象限,
∴a<0
∴S四边形ABPO= ﹣ =
(3)
解:如图2,
设点M(m,0),
∵A( ,0),B(0,1).
∴AM2=(m﹣ )2,MB2=m2+1,AB=2,
∵△MAB为等腰三角形,
∴①MA=MB,
∴MA2=MB2,
∴(m﹣ )2=m2+1,
∴m= ,
∴M( ,0)
②MA=AB,
∴MA2=AB2,
∴(m﹣ )2=4,
∴m= ±2,
∴M( +2,0)或( ﹣2,0)
③MB=AB,
∴MB2=AB2,
∴m2+1=4,
∴m= (舍)或m=﹣ .
∴M(﹣ ,0).
∴满足条件的M的坐标为( ,0)、( +2,0)、( ﹣2,0)、(﹣ ,0)
【解析】(1)首先令x=0,y=0求出一次函数的解析式.然后根据勾股定理求出AB的长,继而可求出三角形ABC的面积.(2)依题意可得出S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP . (3)设出点M的坐标,分三种,列方程即可得出结论.