题目内容

【题目】一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以AB为边在第一象限内做等边△ABC

(1)求△ABC的面积和点C的坐标;
(2)如果在第二象限内有一点P(a, ),试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积.
(3)在x轴上是否存在点M,使△MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:y=﹣ x+1与x轴、y轴交于A、B两点,

∴A( ,0),B(0,1).

∵△AOB为直角三角形,

∴AB=2.

∴SABC= ×2×sin60°=

∵A( ,0),B(0,1).

∴OA= ,OB=1,

∴tan∠OAB= =

∴∠OAB=30°,

∵∠BAC=60°,

∴∠OAC=90°,

∴C(1,2)


(2)

解:如图1,

S四边形ABPO=SABO+SBOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + a.

∵P在第二象限,

∴a<0

∴S四边形ABPO= =


(3)

解:如图2,

设点M(m,0),

∵A( ,0),B(0,1).

∴AM2=(m﹣ 2,MB2=m2+1,AB=2,

∵△MAB为等腰三角形,

∴①MA=MB,

∴MA2=MB2

∴(m﹣ 2=m2+1,

∴m=

∴M( ,0)

②MA=AB,

∴MA2=AB2

∴(m﹣ 2=4,

∴m= ±2,

∴M( +2,0)或( ﹣2,0)

③MB=AB,

∴MB2=AB2

∴m2+1=4,

∴m= (舍)或m=﹣

∴M(﹣ ,0).

∴满足条件的M的坐标为( ,0)、( +2,0)、( ﹣2,0)、(﹣ ,0)


【解析】(1)首先令x=0,y=0求出一次函数的解析式.然后根据勾股定理求出AB的长,继而可求出三角形ABC的面积.(2)依题意可得出S四边形ABPO=SABO+SBOP . (3)设出点M的坐标,分三种,列方程即可得出结论.

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