Question

【题目】二次函数图象的顶点在原点，经过点点在轴上，直线与轴交于点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点是抛物线上的点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：；

（3）当时等边三角形时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2（2）见解析（3）（2，3）或（2，3）

【解析】

（1）根据题意可设函数的解析式为y＝ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；

（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM；

（3）首先可得∠FMH＝30，设点P的坐标为（x，x2），根据PF＝PM＝FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．

（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y＝ax2，

将点代入y＝ax2得：a＝，

∴二次函数的解析式为y＝x2；

（2）设P（m，m2），

∵F（0，1），

∴PF＝＝m2＋1，

∵PM⊥HM，且点M在直线y＝1上，

∴PM＝m2＋1，

∴PF＝PM；

（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60，

∴∠FMH＝30，

在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，

∵PF＝PM＝FM，

∴x2＋1＝4，

解得：x＝±2，

∴x2＝×12＝3，

∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（2，3）．