题目内容
【题目】新知：对角线垂直的四边形两组对边的平方和相等
感知与认证：如图1，2，3中，四边形ABCD中
于O，如图1，AC与BD相互平分，如图2，AC平分BD,结论显然成立.
认知证明：（1）请你证明如图3中有
成立。
发现应用：（2）如图4，若AF,BE是三角形ABC的中线，
垂足为P
已知：
,
,求AB的长
拓展应用：（3）如图5，在平行四边形ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，
,
，
.求AF的长.
【答案】认识证明：（1）见解析；发现应用：（2）AB=4；拓展应用：（3）
.
【解析】
认识证明：(1)利用勾股定理，分别表示AD2+BC2和AD2+BC2即可证明；发现应用：（2）连接EF,根据中位线的定理可得
,根据中线的定理可得
，结合对角线垂直的四边形两组对边的平方和相等，列出等式，代入值求解即可；拓展应用：（3）连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.连接PH.可证明EP，AH分别是△AFE的中线，BE⊥AC，结合（2）可求得AF.
认识证明：（1）如下图：
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2.
发现应用：（2）如下图，连接EF
∵AF,BE是三角形ABC的中线
∵
∴
即
解得EF=2，AB=2EF=4.
拓展应用：（3）如图，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.连接PH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=
，
∴∠EAH=∠FCH.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF.
∵在△AEH和△CFH中，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH=
，
∴EP，AH分别是△AFE的中线.
∴
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC.
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC.
∴
即
解得:
,故
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