题目内容
已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动.当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动.(1)求B点坐标;
(2)设运动时间为t秒;
①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半;
②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积;
③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动.在②的条件下,PM+PN的长度也刚好最小,求动点P的速度.
(1)(10,9)
(2)
①6
②10 最小面积为54
③动点P的速度为个单位长度/ 秒解析:
解(1)作BD⊥OC于D,则四边形OABD是矩形,∴OD="AB=10 "
∴CD=OC-OD="12 " ∴OA=BD=="9 "
∴B(10,9) ……2分
(2)①由题意知:AM=t,ON=OC-CN=22-2t
∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半
∴
∴t="6 " …5分
②设四边形OAMN的面积为S,则 ……6分
∵0≤t≤10,且s随t的增大面减小
∴当t=10时,s最小,最小面积为54。…8分
③如图,取N点关于y轴的对称点N/,连结MN/交AO于点P,
此时PM+PN=PM+PN/=MN长度最小。 ……9分
当t=10时,AM=t=10=AB,ON=22-2t="2 "
∴M(10,9),N(2,0)∴N/(-2,0) ……10分
设直线MN/的函数关系式为,则
解得 ……11分
∴P(0,)
∴AP=OA-OP=
∴动点P的速度为个单位长度/ 秒 ……12分
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